高中数学教科书的相关解读

　　 今天百学百科就给我们广大朋友来聊聊,以下关于的观点希望能帮助到您找到想要的学习。

　　上面这幅图是我根据人教版高中数学教材的教师用书前言所做的词云分析，没有耐心的朋友，看看这幅图就应该有了一个直观印象。

　　如果你想继续了解，请耐心看下文。

　　一、中学数学的研究对象

　　数学是研究数量关系与空间形式的一门科学。

　　从这个界定出发，这数学研究对象有的可以纳入较单纯状态的"数量关系"或"空间形式"，有的可以纳入两者融合状态的"数形结合"。

　　概率与统计当然也可以也可以纳入上述三条主线中，但概率与统计是研究不确定现象的，其他中学数学则是研究确定现象的，若把后者称为确定性数学，则概率与统计是以确定性数学为工具来研究不确定现象的数学，所以概率与统计应放在一个独立的位置上。

　　所以我们也可以说高中数学三条主线是代数、几何、概率与统计。

　　而在中学阶段，集合与常用逻辑用语都是刻画事物的语言和工具，因此应该作为学习所有内容的基础。

　　二、集合与常用逻辑用语

　　集合

　　只要研究问题，就有研究对象。

　　这些研究对象都是数学中的元素。一方面把一些元素放在一起作为一个整体看待，就形成一个集合。

　　因而元素、集合是处处存在的。

　　新教材必修一集合与常用逻辑用语

　　另一方面，从有关自然数的 Peano 公理，以及关于欧氏几何的公理体系可以看到或感觉到，无论是"数量关系""空间形式"中涉及的对象和概念，还是"数形结合"中遇到的对象和概念，都能用集合论的语言（元素、集合、属于、子集、映射等）给出它们的定义。

　　比如在立体几何中，点线面之间的位置关系，很多都借用了集合、元素之间关系的表示方法。

　　在这个意义上，可以说数学研究的很多对象都是元素间具有某些关系的集合。

　　这样，集合论的语言就自然地成为数学的基本语言。

　　常用逻辑用语

　　数学的最重要特征是它的严谨性，这种严谨性是由一系列表示关系的逻辑术语把表示概念的名词连接在一起而体现的，由此，从条件到结论，清清楚楚、明明白白，不会产生歧义，而且能被其他人理解。

　　数学的表达方式是全世界数学家都认同和遵守的，数学语言是世界通用的。

　　逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是数学严谨性与准确性的基本保证，是逻辑思维的基本语言。

　　新教材必修一集合与常用逻辑用语

　　举个例子，比如我在讲课的时候，经常会和学生说，很多数学定理、定义，其实反过来都可以作为性质。

　　比如我们知道如果一条直线垂直于平面内任意一条直线，那么这条直线就垂直于平面。

　　我们反过来就可以作为性质使用——如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任何一条直线。

　　这里面有一个隐含的前提，即条件——一条直线垂直于平面内任意一条直线和结论——这条直线就垂直于平面互为充要条件。

　　如果条件和结论之间并不是互为充要条件，那么就不能这样使用。

　　比如若a>b，c>d，则a c>b d。

　　这条不等式的性质，条件与结论就不是互为充要条件，也因此不能反过来作为性质使用。

　　三、数量关系

　　数量关系是一个非常大的概念，以至于显得有些空洞。所以我们在此对数量关系中的相关内容逐个进行分析，所涉及的内容可概括为如下结构图∶

　　新教材人教A教参

　　实数系

　　实数是度量大小的工具，实数系是一切具有运算的体系的代表，任何具有运算的体系中的内容、方法与思想，都能在与实数系的类比中得到启发。

　　比如集合包含关系与实数的大小关系，比如复数运算与实数运算，向量预算与实数运算。

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　　复数系与向量系

　　复数及其运算。复数由实数扩张而得，是人类能创造出的最大、最佳数系。

　　这是因为∶把复数系再扩张时，就不再存在像复数系这样方便、直观的运算，会变得更加抽象。

　　也因此，在高中我们也就是到复数为止。

　　复数与复平面、向量的对应也体现了数形结合思想。

　　新教材必修二复数

　　直线上向量的坐标是一个实数，平面中向量的坐标是实数对（x，y），空间中向量的坐标是三实数组（x，y，z）。

　　在这个意义上，向量可以看作是实数的一种推广。

　　此外，在历史上，复数（a bi）曾被推广到四元数（a＋xi＋yj＋zk），而其中的xi yj十zk被发展成现在的向量。

　　从这里看到，向量的确是"数"（即四元数）的一部分。

　　当然在高中，我们在谈论向量时还是把重点放在它的物理、几何背景 （位移、力，有向线段等）。

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　　在研究几何时，向量系有很好的性质，是一个不错的工具。

　　代数式

　　用字母代表数，我们有了变量a，b，c，x，y，z 等。

　　数和变量一起运算的结果，我们得到代数式，代数式之间也有加、减、乘、除等运算，这样就有了代数式及其运算。

　　代数式及其运算可看作是数及其运算的一种推广，它大大拓宽了运算对象的范围。

　　代数学的根源在于代数运算，而运算律则是整个代数学的基础。

　　在研究代数问题时，我们往往通过运算来归纳地发现、定义和证明。

　　代数式是如此重要，函数、方程、不等式这些内容在高中数学问题里占有统治性的地位。

　　方程

　　令两个含变数的代数式相等便得到方程。

　　方程是变量间数量关系的直接体现，而数和代数式是不可缺少的塔基。

　　寻找等量关系，通过字母、数字，构造出方程并解决，由算术到代数的转化，我们可以看到方程、代数式及其运算的力量和美妙。

　　不等式

　　把方程中的"="换成实数系所特有的">"（或"<"）便得到不等式，因而两者有类似的地方。

　　我们可以将方程、不等式与函数联系起来看待。

　　新教材必修一一元二次函数、方程与不等式

　　方程 f（x）=0的解可以看成函数y=f（x）的零点，而不等式 f（x）>0的解可看成是函数 y= f（x）取正值的x 的全体。

　　两者关系密切——和函数的零点可看成是函数不等于0处的"边界点"类似，方程 f（x，y）=0可设想为不等式f（x，y）>0的"边界"。

　　解方程要利用等式的性质进行等价变换，解不等式也要利用不等式的性质进行等价变换，而"等式的性质"和"不等式的性质"都有"可传递性"，都是"运算中的不变性、规律性"。

　　新教材必修一一元二次函数、方程与不等式

　　在此需要注意，高中数学中不等式的应用比方程的应用更加广泛，但不等式性质中需要注意的一些限制也比等式更多，我们应非常小心地对待不等式。

　　函数

　　函数源于研究事物运动变化规律的需要。

　　函数刻画了一个变量随着另一个变量的变化状态，给出一个数集到另一个数集的对应关系。

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　　它是覆盖面非常广的概念——数可以看成特殊函数；数的运算可以看成特殊的二元函数；代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是特殊的函数；解一元方程就是求一个函数的零点，因而解方程也可纳入函数问题的讨论中；解不等式也可是如此；平面曲线在历史上曾为函数概念提供最初的例子，而今天函数和曲线具有人和影子一样的密不可分的关系；解三角形可化归为一个三角函数的问题………

　　在高中我们会着重学习指数函数、对数函数、三角函数，还包括幂函数等。

　　幂函数、多项式函数、指数函数与对数函数

　　这几类函数都有明确的现实背景，形式简单、性质明显而且应用广泛。

　　有着广泛的使用价值，比如我们在讲回归分析的时候，用以进行数据拟合的函数往往就是上面几种。

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　　通过对客观世界中变量关系和规律的抽象，可以得到这些类型的函数。

　　另外，令变量y等于含变量x 的代数式p（x），即 y=p（x），就得到x 的函数y，这是人们知道的第一批函数中的一类，其中最简单、最基本的就是幂函数、多项式函数、指数函数及其反函数即对数函数。

　　对于形如乘积、乘方等代数运算，让其中的一个量随另一个量的变化而变化，可以得到一次函数、指数函数、幂函数、对数函数等基本初等函数。

　　这是一个很有意思的事情，我们讲数学是来源于生活，但我们发现，没有任何现实背景，从纯粹的代数运算，加上量与量之间的对应思想，也可以抽象出基本初等函数这样重要的数学研究对象。

　　数列

　　在中学只讨论最简单、最基本的两类数列∶等差数列及等比数列。

　　我们可以把数列想象成数的推广，也可以把数列看成是一类特殊的函数，从而可以把等差数列与一次函数作类比，把等比数列与指数函数作类比。

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　　不可忽略的是数列的"影子"在中学数学中多次出现∶在用有理数逼近无理数中，在求圆的面积或球的体积中，在指数为无理数时的指数定义中，在求函数的导数中……

　　这里稍微往前一步就是极限，但是现在的高中数学教材还不如我上学时的教材，对于极限涉及的非常少。

　　三角函数

　　为了刻画一些简单的周而复始的运动变化现象（如匀速圆周运动），我们以单位圆上点的运动规律为背景引入了任意角的三角函数。

　　新教材必修一三角函数

　　正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、相辅相成的周期函数，它们的基本性质则是圆的几何性质（主要是对称性）的直接反映。

　　新教材必修一三角函数

　　比如诱导公式，很多学生觉得记忆非常麻烦，但如果利用三角函数定义结合圆的对称性，非常容易理解。

　　新教材必修一三角函数

　　三角函数是数形结合的产物，在探究三角函数的性质和各种各样的三角公式时，借助单位圆的直观是非常重要而有效的方法。

　　三角函数是非常重要的函数，是描述一般周期函数的基石。

　　而周期，也是我们在研究三角函数性质时需要考虑的基本要素。

　　函数的导数

　　虽然函数 f（x）的导数可以用极限概念"纯数量"地去定义，但在中学里我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数的描述，因而我们愿把导数概念看成是数形结合的产物。

　　新教材选择性必修二一元函数的导数

　　这里，重要的是极限思想，而导数则是借助于极限的一种运算。

　　这里强调的是数形结合，从数及其运算、函数及数形结合等角度来观察中学数学，是弄清中学数学脉络，搞活中学数学的三个重要观点。

　　四、空间形式

　　"空间形式"所涉及内容可概括为如下结构图∶

　　平面几何

　　平面几何是高中解析几何的基础。但因为在高中并没有太多内容，所以我们略过不提。

　　立体几何

　　直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，基本立体图形（柱、锥、台、球）的结构特征。

　　新教材必修二立体几何初步

　　特别重要的是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关联，因为它们是整个定量立体几何的基础所在。

　　新教材选择性必修一立体几何与空间向量

　　所以在高中数学的立体几何题目中，线面平行与垂直的判定问题是常见的题目。

　　对于空间图形，只是看看柱面、锥面和球面，从直观上去感知它们的结构特征；凭借最简单、最基本的直线、平面的位置关系，以及三视图、透视图使我们获得一定的空间形体的直观感觉。

　　圆锥曲线

　　在中学，给出它们的几何定义后，便用数形结合的代数方法——-"坐标法"来讨论它们。

　　这些基本、简单而又很有用的平面曲线使我们对平面曲线有了更多的感性认识，同时"坐标法"也为用数形结合的微积分方法去研究一般曲线打下了一个很好的基础。

　　新教材选择性必修一圆锥曲线

　　一般地，几何的研究对象是图形和图形之间的关系，研究主题是几何对象的性质。

　　定义某类几何对象的基本方法是，先通过具体事例分析组成这类对象的基本元素（点、线、面、体）及其形状和位置关系，然后归纳共性抽象出概念。

　　例如通过观察具体实物、模型，得出棱柱表面是由平面图形围成的，这些平面图形中，有两个相互平行，其余都是四边形，而且相邻两个四边形的交线相互平行；将这些共性概括到一般去，就抽象出棱柱的概念。

　　所谓几何性质，首先是几何图形组成元素之间的位置关系、大小关系。

　　例如三角形的性质，就是以三角形的要素（三边、三内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）之间的相互关系以及几何量（边长、角度、面积等）为基本问题，从"形状、大小和位置关系"等角度展开研究;"形状"中，"特例"是重点——等腰三角形和直角三角形，凡"特例"都有性质和判定两个基本问题。

　　显然，在这样的一般观念指导下展开研究，对发现几何图形性质、建立几何知识结构大有裨益。

　　五、数形结合

　　用三角函数解三角形

　　把几何中的定性定理转化为可计算的定量结果。

　　举例说，已知三角形的两邻边 a，b及其夹角C，依边角边定理，第三边c 完全确定，因而有函数c=f（a，b，C）。

　　如何具体给出这个函数?

　　这里引入三角函数以具体表示这个函数，编制三角函数值表以使它可计算。

　　用向量法研究几何

　　向量法的本质，首先是让几何量带上符号。

　　F·克莱因说∶"对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。"

　　这几个"一般定理"就是向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义（物理意义），以及向量基本定理及坐标表示。

　　新教材选择性必修一立体几何与空间向量

　　用向量方法研究几何，可概括为"三步曲"∶

　　用向量表示出问题中关键的点、线、面;

　　进行向量计算得出结果;

　　对所得结果给予几何的解释而将问题解决。

　　需要注意的是，向量法是非常灵活的，利用"基"转化为坐标运算仅仅是其中的一种方法。

　　函数与曲线——坐标方法下用代数方法研究直线，圆锥曲线

　　用数及其运算为工具.用代数方法研究几何，可概括为"三步曲"∶

　　用数（坐标）、代数式、方程表示出问题中关键的点、距离、直线、圆锥曲线;

　　对这些数、代数式、方程进行讨论;

　　把讨论结果给予几何的解释而将问题解决。

　　新教材选择性必修一圆锥曲线的方程

　　值得注意的是，解析几何研究的是几何问题，因此"先用几何眼光观察，再用坐标法解决"是基本原则。

　　对圆锥曲线的基本几何特征的认识是有效利用代数法解决问题的基础。

　　坐标方法下用微积分方法研究平面曲线用导数和积分为工具，用分析方法研究曲线。

　　在坐标系下，函数对应曲线，导数就是曲线切线的斜率，积分就是曲线下覆盖的面积。

　　六、概率与统计

　　概率

　　概率论是研究随机现象规律的科学，是统计学的理论基础。

　　概率是一种度量，用来度量随机事件发生的可能性大小。

　　这和数学中其他的度量相类似·（例如直线的长度、平面图形的面积、空间几何体的体积等），性质也类似。

　　但是两种度量之间存在如下区别∶

　　（1）作为概率的这种度量的值的范围是【0，1】，几何中的度量却不受这种限制;

　　（2）概率的度量对象是随机事件，几何中的度量对象是几何图形，随机事件的不确定性使概率的度量难度大大增加。

　　新教材选择性必修三随机变量及分布

　　在中学阶段，借助古典概型引入样本空间概念。

　　样本空间是样本点的集合，它是概率理论中的最基本而主要的概念，由此可以运用确定性数学的知识和方法研究随机现象，例如利用它可以刻画随机事件发生的背景，定义和计算随机事件的概率，研究概率的运算法则和性质等。

　　统计

　　统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果作出决策的科学，它的理论基础是概率论。

　　统计为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.。

　　在义务教育阶段主要是学习描述性统计，它不考数据的随机性；高中阶段主要学习推断性统计，通过具体问题背景了解基本的统计概念与方法，例如随机抽样、统计图表、用样本估计总体、线性相关关系以及基于列联表的独立性检验等。

　　新教材选择性必修三随机变量及分布

　　统计学虽然放在数学课程中，但它与数学是有差别的。

　　首先，数学的研究建立在概念和定义的基础上，用公理化方法来构建数学的理论大厦，而统计学的研究则建立在数据的基础上，是通过数据进行推断的;

　　其次，数学推理要依据逻辑规则，采用演绎推理得出必然正确的结论，而统计推理主要依据历史经验 （虽然也要顾及逻辑规则），采用归纳推理进行推断，其结论具有或然性;

　　最后，数学的结论是确定性的，其判断标准是"对与错"，而统计的结论是带有或然性的，所以其判断标准是"好与坏"。

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